正負の曲率とは

正負の曲率って何？

数学的考察

数学を得意としている方も多い事でしょう。
この数学というのは、時として意外な一面を見せてくれます。
私たちが想像できない事を表示してくれます。
数学では必ず解答がでます。ですので、結果が分かります。
その点が魅力的なのかもしれませんね。
そのなかに、曲率があります。
この曲率というのは、曲線や曲面の曲がり度合を表す量をいいます。
例えば半径 X である円周の曲率は、 1/X で表示されます。
この曲がり度合が大きくなればなるほど曲率も大きくなっていきます。
このような概念は、抽象図形である多様体に使用されます。
この曲率の研究がいつから始まったのかは、明確になっていません。
曲面上における曲線の曲率を初めて研究したのは、レオンハルト・オイラーです。
オイラーの曲率は有名です。
このオイラーが、数学の世界に初めて曲率の概念を取り入れました。

曲率の定義について

この曲率は多くのところで活用されています。
この曲率は2次元と3次元によってその定義が異なります。
要するに空間においては、単位接ベクトルを弧長によって微分した曲率ベクトルの大きさを指します。
これに対して平面においては、単位接ベクトルの大きさは1になります。
それゆえ、単位接ベクトルをsで微分したベクトル値は垂直です。
そしてこのベクトルを曲線上の各点において、単位接ベクトルを正方向に90度回転した時に得られる単位法ベクトルが曲率になります。
この単位接ベクトルをsによって微分した値は、単位法ベクトルと同様の向きになったり、また反対方向になります。
それゆえここに正負の曲率が発生するのです。
この正負の曲率は空間と平面の定義の差異によって生じてきます。
ですので、普段はこの正負の曲率の定義付けは難しくなります。

曲線の曲り度について

そして曲線が曲がっている場合、その曲がり具合を円に近づけられます。
またその曲がり具合を表現したのが、曲がり具合を円弧のなかで近似している二次近似になります。
普通の曲線の曲がり度合いを表すのは簡単です。
この曲率というのは、曲線の曲がり度合いを二次近似に例えています。
そういう感じで見ると、分かりやすくなります。
この曲率と曲率半径、また一次近似における一次式は、曲線を直線で近似するやり方です。
そして同じように、二次近似というのは、二次式によって曲線を近似するやり方です。
ですので、曲率や曲率半径は正負、どちらの値にもなります。
このように曲率というのは、とても複雑です。
ですので、よく理解する必要があります。